跨越从“听懂”到“做对”之间的学习鸿沟

学生们表示“听懂了、明白了”，但课下就是不会独立、正确地做题。这学习现象通过前文《为什么听懂了却不会做？》写的生活中的几个比喻，大家应该能理解，也勉强能接受，但心里肯定一直还是想问一句：

“那这到底是为什么呢?”

“一看就会,一听就懂”，其实充其量也就是学生们理解了字面上的意思，最多还听明白了老师讲题的推理逻辑，而自己要去做则是要去应用。

了解、理解、掌握、灵活运用，它们属不同的学习层次，在课程标准上都有明确界定。

一般来说，只有达到了低一层次的目标，才可能实现高一层次的目标。

但达到了低一层次的目标，是不是就一定能实现高一层次的目标呢?

其实未必，这中间还是有较大差距的。

因此，我们还需要给学生们运用的机会，运用所谓“会了”、“懂了”的知识来解决问题，这个机会中就包括“探试”和“出错”。

“一看就会”，这里的“会”可能只是一种感觉，

“一听就懂”,这里的“懂”可能只是一种认同，

而“做”却是实实在在的熟练，

感觉和认同不会自动地导致熟练。

“解题是一种实践性技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它。”

这是著名数学教育家波利亚给我们的忠告。

为了让大家更清晰明白这一点，我再借用一个比喻：

老师在课堂上讲解知识和问题，就好像老师和学生都站在下图中人站立的平台上，老师用手指示给学生看，到对面另外一个山头应该怎么走：

“从这儿下去，到那个大石头右拐走到一棵大树再左拐，绕过水潭。直接上去就到了。”

学生顺老师手指的方向看过去，看到了大石头、大树、水潭、水潭上面的山头，感到自己应当能过去，感到自己“明白了、懂了、会了"。

但是，如果让学生自己走一遍，这学生真能走过去吗?

不一定吧!

为什么呢?

仔细分析这一过程，我们会发现，学生感到“明白了”，是因为在高处看见了相关的大石头、大树、水潭和水潭上面的山头，这些在学习上是以明确知识的形式存在的。

它们是明确的、是可意识的，是可以清晰表达的。

而在具体的思维路径上，这些大石头、大树、水潭之间的具体联系，也就是包括明确知识之间的，微妙有机的关系在内的诸多隐藏暗含的内容，学生在高处时是无法获取的。

但恰恰这些才是学生在走到大石头、大树、水潭后决定下一步走向的关键。

学生感到“明白了”的东西恰恰是对可以意识的明确知识的感受，而引导支配大脑下一步思维判断的却不是这些明确知识。

这就是课一听就懂，课下却不能独立正确地解决题目的原因。

怎么破这个局？

我们要引导学生（孩子），改变对“俯视思维”的单一路径依赖，适时转换，采取对问题的“平视思维”。

回到现实教学中，有很多学生只愿意听课，看题(即在浅层次思考)，不愿意做题(即深人思考进去，并做出最后结果)。

学生自己看题目时一般都感到自己会做。

这种感觉就相当于，学生这时独立站在平台上，遥望远方另一处的山头，想到对面那个山头上去，两个山头之间有云雾变化：

那不是老师例题中的“大石头”吗?

那不是我曾经经过的“大树”吗?

那不是“梦幻中的水潭”吗?

可能他看准了、感到会做了。

但是“大树”和“水潭”之间的障碍，他是注意不到的。

实际上，这其中任何一个障碍都可能使学生不能到达另一处的山头。

学生站在山头上向下看的思维，就叫作“俯视思维”。

俯视思维只是站在山头上，确认一下思维路径上可能会遇到的“大石头”、“大树”、“水潭”，而没有真正具体在这些障碍之间穿行。

这就是相当于了解掌握的不是具体分析和判新信息间的关系，而是大致确定解决问题可能需要用到的明确知识。

与俯视思维相对的是“平视思维”，即学生独立地在“大石头”、“大树”、“水潭”之间穿行。

这个过程需要学生自己独立亲自，去对这些障碍之间的具体连接路径形成判断，并对障碍实现排除。这个过程就伴随了大量对信息和信息间的关系的判断。

之所以强调平视思维，是针对学生的学习现状而言的。一般而言，学生听课时主要运用的是俯视思维。

因为学生听课时对知识和问题更多的是放心地接受，只要知道了知识和问题等明确的内容是什么，并且这个内容和自己当时大脑能联系到的其他知识不直接矛盾，就感到“明白了”、“听懂了”。

这时，学生的努力方向只是搞清楚老师讲的知识和方法的内容是什么，缺乏了对知识和方法的审视、批判和干扰信息的排除。

同时，学生课下做题很多时候也在运用俯视思维。

学生课下做题，主要是根据题目的表面信息，以记忆和回顾为基础，通过模仿和套用过去的问题解决方法来解决问题，这只需要关注题目的表面信息等明确内容。

这种做题的思维过程明显缺乏对明确知识的审视，也缺乏对明确知识间关系的判断。

这种只关注明确知识的客观内容是什么，知道后就努力接受，不注重审视、批判与自主判断的思维方式，就是被动接受的思维方式。

“课听懂了，就是不会做题”的现象，就是这一思维方式的典型表现。

被动接受的思维方式，只是接受明确知识的内容，而真正支配学生解决问题的东西，却是一些隐蔽需要内化的，细微又难以用语言表达的知识。

而后者则是需要学生通过自主思考、独立判断才能获得，在被动接受的学习过程中。它是不可能被获取的。

被动接受的“俯视思维”，只是使学生知道问题的内容。这和知道问题是什么和会思考问题的“平视思维”，是完全不同的认知层次。

就像学游泳一样，听完规则，听懂规则并不代表会游泳，一定要到水里去扑腾去实践。

学数学也一样，听懂了概念，命题，定理，规则和例题不代表就会做题，更不代表会数学，一定要深入题中，深入生活中去反复应用，才能加深理解，逐步掌握。

这也就是为什么很多数学家说“在做数学中学数学"的原因所在。

三. 加深理解的6种手段

主动思考，深入思考，深入数学中加深理解，学会数学主要有6种手段，这在前面《数学学习从“假懂”到“真会”的6大绝招》有具体介绍，在这里就简单概述一下。

1，数学课外阅读

前苏联著名教育家苏霍姆林斯基说过：

”学生学习越感到困难，他在脑力劳动中遇到的困难越多，他就越需要多阅读 。不要靠补课，也不要靠没完没了的“拉一把”，而要靠阅读、阅读、再阅读。“

课外阅读材料被苏霍姆林斯基称之为第二套大纲，课内教材是骨架，课外阅读材料就是血肉。

课堂内必须识记的材料越复杂，必须保持在记忆里的概括、结论、规则越多，学习过程的“智力背景”就应当越广阔。

2，专业高效的解题

解题是促进理解的最有效途径。学生每天都要做大量的习题，但以下事实不可忽视：

（1）做不等于理解。

学生固然有在理解的基础上做题的，也有在不理解的情况下做题的。而通过机械记忆模仿做题，很难深刻理解数学知识和思想方法；

（2）做得多不等于理解的深，题海战术无助于学生形成深刻理解；

（3）把不会做的题目空着或抄袭作业等现象屡见不鲜，这样的“做”当然不意味着理解。

因此，要使解题能真正促进理解，必须要求解题活动专业高效，一定要注重题后总结反思复盘。

具体如何才是专业高效的做题，可参考我前文《用“解题六环”打造解题的专业范》。

3，变式训练

变式是指对数学概念和问题进行不同角度、不同情形的变换，凸现概念的本质属性和清晰的外延，突出数学问题的结构规律，揭示知识的内在联系。

变式训练是指把上述变式材料以书面作业的形式提供给学生，学生在完成作业的过程中，通过多角度地分析、联系、比较，把握概念的本质属性，掌握问题的恰当分类以及相应的解题方法，丰富问题解决的策略和经验，获得对数学对象更深的理解。

变式练习内容包括一题多解、一题多变、一法多用。

具体介绍和教辅推荐可参考我前文《破解题海战术的利器-题根》。

4，将数学知识系统化

将数学知识系统化，是指把零散学习的数学知识按照一定的结构组织成网络，以体现不同知识之间的相互联系，主要有单元总结、专题总结等形式。

系统化整理的思维可视化工具有思维导图，知识结构图，框图和概念图等。

数学是一个组织结构良好的系统，理解数学知识，既包括对这个知识本质属性的认识，也包括掌握它与其它知识的联系。

要对知识形成深刻的、真正的理解，这意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的，而不是零碎的。零散无序的知识会使学生头脑混乱．

就题论题、不讲联系会使学生的理解停留在低层次的水平上。数学学习应该努力让自己的认知结构系统化。

具体介绍可参考我前文《提升数学实力的两条途径》。

5，说数学

“说数学”是指用自己的语言叙述数学知识，内容包括数学概念、命题、公式、原理、方法和解题过程。

叙述要完整、准确、流畅，能对叙述的内容作适当解释，经得起他人的进一步追问。

“说数学”对于促进学生理解数学有着重要意义。

只有理解了的东西才能用自己的话说出来，而为了能够说出来，学生必须认真领会所要叙述的内容。

活动展开形式可以是围绕本节课重点内容和下节课将要用到的主要知识，进行随机提问，要求学生用自己的语言准确流利地回答；

也可以是板演并讲解习题，这都是费曼学习法的很好实践。

6，数学小论文

这个方法在很多名师的教育经验总结里都可以看到，比如周长生老师，孙维刚老师，杨象富老师等人的书籍。

这是一项结合了项目学习，问题驱动和费曼学习法，能有力加深学有余力的学生对知识的理解，培养学生创造能力的，比较可行的活动。

由于小论文的课题是学生自己发现选定的，通过学生自己搜集、选用资料，自己探索最佳结果，给学生创造了从很多不同深度视角看待知识的机会，从而对知识本身的理解，以及知识之间的关联理解的会更透。

这种方式除了提升对知识的理解掌握外，对于开发学生的智力，激发钻研兴趣，培养创造精神，提高写作能力，也有直接的作用。

四   深度思考和反思力

第62届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中，中国国家队以208分的成绩获得团队总分第一名！

十一学校2021届毕业生韦晨作为国家队的一员，以世界第三的成绩夺得国际金牌。

就读于北大数学系的韦晨回到母校，在“名生讲堂”活动中，与他的学弟学妹们分享了他一路走来的收获与感悟。

这文章学校公号发出来后，我当时第一时间转发到群里，并圈出了重点。韦晨和他的教练不约而同，都着重强调在数学学习中：

深度思考和反思力无比重要。

结合前面提到的平视思维，我们具体如何钻到题中，进行深入思考和提升反思力？

在这个关键具体细节性的问题上，除了自己一直的理论研究和实践思考外，我也请教了很多数学思维方面的专家和资深老师，这其中徐方瞿教授的几次交流和指导，给自己带来的启发和领悟特别深刻，受益颇多。

概括来说，深度思考和反思能力可以从思维的四个方面入手：

1，思维的起点

拿到一个问题以后是怎样想的?

这个问题是思维过程的起始点，是源头。

每个人在拿到一个需要解决的问题时，都会先考虑从什么地方下手，从什么条件，什么性质开始思考。

选择从A性质开始思考，思维过程可能很顺畅，问题也很快得到解决;

而选择从B性质开始，思考思维过程很可能就会遇到困难甚至走向歧路。

那么为什么有的人能够顺利地想到正确的解法呢?

当一个人开始思考一个问题时，由于解决问题的正确思路并不清楚，因此通常都会先思考解决问题的思路有哪些可能性，或者解决问题的大致方向。

这时常常就表述为“拿到这个问题时，我首先想到了哪几种可能性”或者“我是从这个方向(这个角度)开始思考的”。

有的问题是从观察开始的，这时常常就表述为“拿到这个问题后，首先进行观察，通过观察发现它具有怎样的特征，于是我想到要用怎样的方法去解决问题”。

还有的问题的思考是从进一步准确理解问题的意义，从而抓住问题的关键开始的,等等。

对于拿到一个问题以后如何思考这样一个思维起始源的问题，在具体自我反思展示时还会出现两种情况:

有一种就是思维的起始源完全建立在逻辑关系的基础上，这时就可以直接应用逻辑推理方法来进行自我表述;

另一种，就是思维的起始源是建立在非逻辑关系的基础上，看上去常常没有明确的因果联系，要自我表述思维很不容易，需要下一定的功夫来实现。

现实教学中，有不少学生拿到一个问题后，首先想的是:

这个问题看到过没有?

这道题目老师讲过没有?

这道题目自己做过没有?

如果这道题目是老师讲过的自己做过的，就会马上回忆当时老师是怎么讲的，自己是怎么做的。

如果这道题目是老师没有讲过的，自己没有做过的，这些学生常常无所话从，连仔细思考一下的勇气也没有,失去了解题的方向和走回成功的信心，这样的学生为数不少。

当然，也有的学生拿到一个问题后，就是漫无目的地东想西想，完全想靠碰运气来解决问题;

还有的学生拿到问题后，就是先用一种方法试试看,不行再换另一种方法，希望多试几次以后，就能走向成功。

种种现象表明，许多学生表现出来的状态就是不会思考，不知道应怎样着手进行正确的思考。

重视深度思考和反思,应该首先花大力气,下苦功夫，思考、研究、记录、自我表述自己拿到这个问题后是怎样想的，将这个过程倒带式的反思明晰出来。

2，思维中间过程

解决办法是怎样一步一步想出来的?

这是思维过程的核心内容，这里最重要的内容就是“一步一步”地具体反思思维活动的全过程。

人思考一个问题的思维过程，总是一步一步向前发展、推进并最终完成的。所以,如果对典型题目不将思维结果整体地复盘，时过境迁，很容易忘了这个结果当时是怎样想出来的。

从上一步想到下一步的衔接问题，从思维本身来分析就是一个怎样想下去、由这一步或这一个性质可以想到什么的问题。

由于这里出现的是一种因果关系。大家首先想到的就是逻辑推理，也就是说一个人所进行的思维活动，如果仅仅是逻辑思维，那么就一定可以通过不断地采用逻辑推理方法，一步一步地展示出来。

然而,我们所进行的思维活动并不仅限于逻辑思维，还包括直觉思维、辩证思维、创新思维等其他思维形式，对于这些思维活动，同样有一个一步一步想出来的过程问题。

即使是那些没有明确逻辑推理关系或者是跳跃式的思维活动，甚至是可以在一瞬间完成的思维活动,如联想灵感或扩散思维等。

如果我们把整个思维活动实录下来进行研究的话，就会发现同样是有一步一步的思维过程的。

解题过程的思维全过程的反思复盘，对深度思考和反思能力的培养具有十分重要的意义。

3，解题思维背后的思维

数学教育家傅种孙先生曾言:

"几何之务不在知其然,而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然。”

说的就是学数学的三个境界。最高境界就是：

知何由以知其所以然，即为什么会这样想?

这是确保思维过程的合理性、正确性的要求，是检验学生是否真正掌握了思维过程的试金石，也是促使学生的思维活动向更高层次发展的助推器。

在知道一道题目的解题方法和解题结果以后，学生要慢慢培养一个反思意识，就是自问一句:

我为什么是这样想的，为什么是这样想而不是那样想？其中有怎样的道理。

具体实践中，不要求对解题思维的每一步都进行回答，但对问题中影响自己真正理解的最关键的步骤，学生要尽量尝试想清楚当时自己这样想的原因。

4，体会思路走偏时微妙的信号

当你的思维活动或者思维过程走上歧路时，你是怎么意识到自己的思维出了问题，并是怎样将自己的思维活动或思维过程重新纳人正确的轨道上，也就是问这个意识是怎样产生的?

人在思考一个问题的过程中，尤其是在探索性地思考一个问题的过程中，思维活动走上歧路是一种正常的思维现象。

问题不在于人的思路是否走上歧路，而在于走上歧路的时候怎么意识到自己的思维出了问题，也只有在意识到这一点时，人们才有可能将自己的思维活动或思维过程重新纳人正确的轨道。

学生在学校课堂回答问题或随堂练习，可能有老师提醒，然而在测验、考试时，在需要独立地进行思考的时候，没有老师或家长提醒怎么办?

这时需要的就是一种意识，我们经常可以看到许多学生在思考一个问题的时候，明明已经出了问题，思维活动已经走上了歧路，但他们并没有这种意识，还是在绞尽脑汁地想结果，多少时间用上去也解决不了问题。

我们也会看到有的学生拿到一个问题，顺着一个方向思考没有多久，就发现不对了,继而迅速改变思考的方向和思路，显然他们就是具备了这种意识。

当然，要意识到自己的思维出了问题，要产生这种意识,在思维过程中是需要有某种“信号”的。

例如，在思考一个问题的过程中，如果感觉到思路在很顺利地发展，没有感到什么思维上的障碍，应该说思维过程就是正确的;

反过来，如果感觉到的是思路不顺，思维过程很别扭，似乎不断地遇到自己无法逾越的障碍，就是一种“信号”，就要停下来思考思维是否走上了歧路。

如果在思考过程中，自己需要得到的某种具有重要价值的思维成果，就像是在迎候着你的到来一样，适时地展现在你的面前时，你可以很自信地断定自己的思维过程是正确的;

反过来，如果在思考过程中，自己需要得到的某种具有重要价值的思维成果迟迟不出现，很长时间里都是一种可望而不可及的状态，就是一种“信号”，就要停下来思考思维是否走上了歧路。

如果在思维过程中，即使思维的容量越来越大，但思路却越来越清晰，获得思维成果的把握越来越大，你可以很自信地断定自己的思维过程是正确的;

反过来，如果在思考过程中，思维的容量越来越大，但思路却越来越乱，理不出正确的头绪和脉络，看不出思维发展的明确方向，就是一种“信号”，就要停下来思考思维是否走上了歧路。

如果对一个问题的思考、推演，出现的结果越来越简化，并很快聚焦于规范标准题型，就可以确信自己的思维没有问题；

反过来，如果思考推演中出现的结果越来越繁复，不能聚焦于规范标准题型，就是一种“信号”，就要停下来思考思路是否走上了歧路。

在数学学习过程中，学生产生并具有这样一种意识，对于提高学生的思维能力来说，是十分重要，十分必要的。

我们知道类似骑车、游泳一样，深度思维和反思是一种高级能力，而能力的特征是难以用明确的语言来表述的，“只能意会，不可言传”。

这就决定了这种能力的培养，遵循的不是“教师教,学生学;教师示范,学生模仿”的模式，而必须要经过“摸索、尝试、探索、飞跃”的实践过程，在这一过程中还会出现困难挫折和失败。

这就需要我们在做题实践中多反思，体会，感悟，多发出的“噢”的领悟声。